计算尺使用方法

1. 计算尺概论

计算尺是20世纪便携式计算器出现之前，用于模拟计算的常用工具，在理工相关领域应用广泛。计算器出现之后，由于计算尺有效位数较少，逐渐被淘汰。但是利用模拟数据（而非计算机的数字数据），通过“实验”来得到计算结果的计算方式，如今出现在量子计算机，光计算芯片等前沿领域。

所有计算尺均由两个尺身（stocks）（上尺身和下尺身）、中间的滑尺（center slide）和游标（cursor）组成。 尺身固定在一起，滑尺嵌在其中可左右滑动。计算尺顶面是可移动的游标，它是一个通常嵌在金属框内、带有一根垂直细丝的玻璃片。

尺身和滑尺上都标有不同分度的刻度，每个刻度都有特定的名称或符号。

表一：正面刻度名称和用途

表二：反面刻度名称和用途

2. 计算尺的操作

使用计算尺，换言之，就是根据所需的方法移动滑尺和/或游标来进行计算。移动滑尺称为“滑尺操作”，目的是将滑尺上指定的刻度线与尺身上必要的刻度线对齐。 移动游标称为“游标操作”，目的是借助游标细丝在刻度上确定与给定刻度线对齐的准确位置。

a. 游标操作 a. 用拇指尖移动游标。 b. 若要将游标从右向左移动，先用右拇指大范围移动至接近所需位置，然后用左拇指稳住移动。 c. 缓慢移动游标，直到细丝精确对准所需位置。 d. 必须反复练习，直到无需反复前后移动即可准确定位。

b. 滑尺操作 a. 用食指推动滑尺（拇指握住计算尺），拇指和中指沿计算尺外缘移动。 b. 同时，另一只手的拇指和食指轻轻捏住滑尺的另一端。 c. 当滑尺移至接近所需位置时，通过捏紧握住滑尺的两个手指，利用指尖顶住尺身端的压力使滑尺逐渐推进。 d. 在整个滑尺操作过程中，推动滑尺的手指绝不能离开计算尺。 e. 通过交替定位左侧和右侧位置来重复练习此操作。

3. 刻度读法

计算尺是利用其刻度进行计算的仪器。 几乎所有刻度都是“对数刻度（LOGARITHMIC SCALES）”，因此，刻度上的分度并不是长度的度量单位。 由于 D 刻度是基本的对数刻度，本说明将以 10 英寸计算尺上的 D 刻度为例。D 刻度分为 9 个不等长的区间，左端记为 1，右端记为 10（或 1），中间的分度线从左到右依次记为 2, 3, 4, … 8, 9，两端的 1 或 10 线称为起始线（index）。

每个分度线之间的距离称为“主长度（Primary Length）”，向右逐渐变短。这与普通尺子相比可能显得奇怪，但刻度读法完全相同。 主长度再次分为 10 个不等的区间，称为“二级长度（Secondary Length）”，除了 1.5 线外，这些分度线通常不编号。但在读数时，应像读厘米尺上的毫米一样，从左侧读作 1, 2, 3, …。

二级长度进一步细分为“三级长度（Tertiary Lengths）”，由于无法全部细分为十分之一，二级长度根据其长度被分为十分之一、五分之一或二分之一。 显而易见，细分为十分之一的三级分度代表 1/10，五分之一代表 1/5，二分之一代表 1/2。

在上述分度的刻度上，可以找到任何数值。例如，要定位 1.35 的位置： 首先去掉小数点，将 1.35 视为按顺序排列的三个数字 1, 3, 5，这被称为有效数字（Significant Figures）。 当转化为有效数字时，它们可以表示 135、13.5、1.35 或 0.135，因为它们实际上都是相同的 1, 3, 5，因此在 D 刻度上由同一个位置代表。

定位 1, 3, 5 的方法：第一个数字 1 在主长度的 1 和 2 之间找到；第二个数字 3 在上述主长度内的二级长度 3 和 4 之间找到；第三个数字 5 则是三级长度刻度线的位置。 由此可见，有效数字的区域变得越来越小，最后通过最后一个数字确定精确位置。

当数值有 4 位有效数字（如 1358）时，最后一位数字 8 必须通过肉眼估读在 135 和 136 之间的 8/10 处，就像使用普通尺子一样。 因此应当明确，除非是特殊制造的计算尺，否则很难或无法对超过 3 位有效数字的数值进行精确计算。 上述说明针对 D 刻度，但 A 刻度或任何其他刻度的读法完全相同。

4. 小数点定位

使用计算尺计算是以有效数字进行的，因此得到的结果也是有效数字的形式。因此，必须将小数点放在正确的位置，否则结果将是错误的。 在日常实际计算中，小数点的定位在一定程度上可以凭常识完成。但即便如此，如果计算很复杂，使用“粗算法（Rough Calculation method）”会非常方便。 这种方法是先估算带有小数点的近似值，再将其与实际计算得到的有效数字进行比较，从而确定正确的小数点位置。 例如：计算 \(0.058 \times 25.5 \div 0.032\)。 按照此方法，将所有数值改为整数，如 \(\frac{0.06 \times 25}{0.03}\)。即使通过心算也能得到约 50 的答案。 现在，对比 50 与实际计算得到的有效数字 463，可以很容易看出正确答案是 46.3。

5. 乘法与除法

a. 一般规则 计算尺有两个可移动部分：滑尺和游标。为了保证高计算效率，在实际操作中需要遵守以下三个要素： (1) 始终使答案出现在尺身（stock）上。 (2) 每一个数值的处理应通过一次操作完成。 (3) 滑尺的移动必须保持在最小限度。

具体的计算程序如下： (1) 将游标对准尺身上的被乘数或被除数。 (2) 首先通过滑尺操作进行计算。 (3) 然后如有必要，通过游标操作进行计算。通过重复“滑尺操作 → 游标操作”的流程，可以快速高效地完成计算。

注意： (1) 当通过滑尺操作进行计算时，答案总是在尺身上与 CI 刻度的起始线对齐的位置。 (2) 当通过游标操作进行计算时，答案总是在尺身上游标细丝下。

b. 计算方法 乘法和除法都使用 D 刻度和 C 或 CI 刻度。

(i) 滑尺操作法 (1) 准备：将游标细丝对准 D 刻度上的被乘数或被除数。 (2) 操作：移动滑尺，使 CI 上的乘数或 C 上的除数对准细丝。 (3) 答案将是 D 刻度上与 C 刻度左或右起始线对齐的数值。

(ii) 游标操作法 当滑尺操作完成后需要进行另一次计算时，使用游标操作。

c. 连续计算 在乘除法的连续计算中，依次重复“滑尺操作 → 游标操作 → 滑尺操作……”的过程。

d. 超出量程 (Off Scale) 在连续计算过程中，有时会出现游标需要对准的 C 或 CI 刻度位置超出了 D 刻度两端的情况。这被称为“超出量程”。 在这种情况下，需要将游标对准 C 的起始线，并重新移动滑尺。不过，在配有折叠刻度 CF 和 DF 的计算尺上，使用这些刻度处理“超出量程”非常方便。

6. 比例

比例计算被视为乘除法的一种特殊情况。 一般来说，当滑尺设定在某一特定位置时，滑尺上的刻度与尺身上的刻度之间保持着某种数学关系。利用这种关系，一旦确定了滑尺的位置，只需移动游标参照相关刻度，即可进行一系列计算。 这被称为“参考刻度法（reference scale method）”。比例和反比例计算就是通过这种方法完成的。

a. 正比例 比例计算使用 C 和 D 刻度。此方法应用广泛，如换算、指数、比例分配、百分比、商品买卖计算等。 （练习 17-19：展示了如何通过一次设定滑尺来读取多个换算值。若“超出量程”，需移动滑尺利用另一侧起始线重新设定。）

b. 反比例 反比例使用 D 和 CI 刻度通过参考刻度法计算。在这种操作中，不需要像正比例那样固定刻度对应的单位，可以自由切换。 （练习 20：8 人 30 天完成工作，6 人需要多少天？ 12 天完成需要多少人？）

7. 平方与平方根

a. 计算方法 使用 A 和 D 刻度的参考刻度法。A 刻度由两个连接的 D 刻度组成，长度缩减为原来的 1/2。因此，由于特性完全相同，也可以用 A 和 B 刻度进行乘除运算。 （练习 21：\(5^2 = 25, \sqrt{64} = 8\)）

小数点定位： 平方值的小数点定位与乘除法相同。计算平方根时，将数值以小数点为界每两位分为一组。若包含第一位有效数字的那一组小于 10，则在 A 刻度的 1-10（左半部分）设定位置；若大于 10，则在 10-100（右半部分）设定。

b. 平方与平方根的乘除运算 计算 \(a \times b^2 = c\) 和 \(a \div b^2 = c\) 时，要记住涉及平方值的计算答案总是在 A 刻度上。 计算涉及 \(\sqrt{b}\) 的乘除法（如 \(a \times \sqrt{b}\)）时，答案总是在 D 刻度上。

c. 量规标记 “c” C 刻度 1.128 位置标有量规标记“c”，用于计算圆的直径和面积。该位置源于圆面积公式 \(A = \frac{\pi}{4} d^2\)。 （练习 28：计算直径 2.3 的圆面积。答案 4.15。） 注意： 有些计算尺在 3.57 附近提供标记 \(c_1\)，当直径数值位于 D 刻度远右端时使用，可减少滑尺移动。

8. 立方与立方根

a. 计算方法 K 刻度由三个连接的 D 刻度组成，长度缩减为 1/3，用于计算立方和立方根。使用 K 和 D 刻度的参考刻度法。 立方根分组： 将数值从小三点起每三位分为一组。根据第一组有效数字的位数（1, 2 或 3 位），分别在 K 刻度的左、中、右三段设定位置。

b. 立方与立方根的乘除运算 由于 K 刻度仅在尺身上有，滑尺上没有对应刻度，因此这类乘除运算比平方运算困难，且应用有限。 （练习 30-33 省略）

第二章 “改进型曼海姆系统”计算尺

No. 30, 32, 34R, 34RK, 50W, 2640, 40RK 曼海姆系统是世界计算尺的基础。最初只有正面 A, B, C, D 刻度和滑尺背面的 S, L, T 刻度，现代改进型通常增加了 CI 和 K 刻度。

1. No. 2640 计算尺上的 K 刻度 该型号的 K 刻度在滑尺背面而非正面。计算立方值 \(a^3\) 时，将 C 上的 \(a\) 对准 D 的起始线，在背面的后起始线下读取 K 上的答案。 计算立方根则反之。若要进行组合计算，需将滑尺取出翻面插入。

2. 对数 (Logarithm) a. 常用对数 计算尺提供等分刻度 L 以获取常用对数的尾数（mantissas）。首数（characteristics）通过公式心算：(小数点前的位数) - 1。 （练习 37：求 \(\log 25\) 等） b. 反对数 反向操作即可。从 L 刻度设定尾数，在 D 刻度读取有效数字。小数点位置由首数加 1 决定。

3. 三角函数 除 No. 2640 外，该系统在滑尺背面配有 S（正弦）和 T（正切）刻度。 a. 正弦 (Sine)：S 刻度范围 \(35' - 90^\circ\)，配合 A 和 B 刻度使用，值在 0.01 到 1.0 之间。 b. 正切 (Tangent)：T 刻度对应 C 和 D 刻度，值在 0.1 到 1.0 之间（角度小于 \(45^\circ\)）。对于大于 \(45^\circ\) 的角，利用公式 \(\tan \theta = 1 / \tan(90^\circ - \theta)\) 计算。 c. 余弦 (Cosine)：利用公式 \(\cos \theta = \sin(90^\circ - \theta)\)，先求余角再用 S 刻度计算。 d. 正弦定理：\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)。将滑尺翻面插入，利用 S 和 A 刻度的参考刻度法计算。

第三章 “里茨系统 (RIETZ SYSTEM)”计算尺

No. 64, 66, 74, 70 (通用工程型) 相比曼海姆系统有以下改进： (1) A, B, C, D 刻度两端有红色辅助刻度（Surplus Graduations），减少“超出量程”需重设滑尺的麻烦。 (2) L 刻度位于正面。 (3) S 和 T 刻度均对应 C, D 刻度，并增加了 S&T 刻度。 (4) 配有三线游标。

三线游标的使用： 计算圆面积时，只需将游标中线对准 D 上的直径，左细丝在 A 上的位置即为面积。无需移动滑尺。

三角函数：

• S 和 T 刻度：值在 0.1 到 1.0 之间，对应 C 和 D。
• S&T 刻度：用于 \(35'\) 到 \(5^\circ 30'\) 的极小角。值在 0.01 到 0.1 之间。
• 量规标记 ρ°, ρ’, ρ’‘：当角度更小时，假定弧度值等于正弦或正切值。这些标记表示 1 弧度对应的度、分、秒。

第四章 带有折叠刻度的计算尺

No. 2634, 45 (No. 2664) 此类尺子配有 CF 和 DF（折叠刻度）。 折叠刻度： CF 和 DF 是将 C 和 D 刻度从中间（\(\sqrt{10}\) 处）切断并交换位置而成的。 使用这些刻度可以避免在乘法计算中出现“超出量程”的情况，无需重新移动滑尺。 交叉操作 (Cross Operation)： 结合使用常规刻度与折叠刻度（如 D 与 CF），可极大减少滑尺移动。 答案位置：

• 滑尺在左：在 DF 刻度读取。
• 滑尺在右：在 D 刻度读取。

三角函数 (SI, TI 刻度)： 提供 S 和 T 的倒数刻度 SI 和 TI。不仅能求函数值，还能直接进行乘除组合运算，特别适合解直角三角形。 （练习 52-54 介绍了利用这些刻度解直角三角形和斜三角形的方法，包括向量加减法。）

第五章 特殊计算尺

1. “达姆施塔特 (Darmstadt)”计算尺 (No. 130, 136) 曼海姆型中最高效的型号。

• 配有 Log Log (指数) 刻度和 cos 刻度。
• 游标有三根细丝，间距设计用于圆面积计算及 HP（马力）与 KW（千瓦）的换算。
• 指数计算：LL1, LL2, LL3 刻度用于计算 \(A^n\)，范围从 1.01 到 \(10^3\)。

2. “电工 (Electro)”计算尺 (No. 80K, 86K) 为简化电工领域的指数和特殊计算设计。

• 增加 LL1, LL2 刻度、效率刻度（Efficiency Scale）和电压降刻度（Voltage Drop Scale）。
• 电压降计算：利用公式 \(V = \frac{I \times L}{28.7 \times q}\)，配合 A, B 刻度使用。

3. “视距 (Stadia)”计算尺 (No. 2690) 专为土木测量中的视距计算设计。

• 配有 \(\sin \cos\) 和 \(\cos^2\) 刻度。
• 可直接计算水平距离 \(d\) 和垂直高度 \(h\)。

附录

1. 如何选择计算尺 逸见计算尺种类繁多，选择符合需求的型号至关重要。建议按以下顺序调查： (i) 确定所需刻度：了解各种刻度（如常用、折叠、三角、指数等）的用途。 (ii) 刻度排列：即便刻度相同，排列方式也会影响特定计算的效率（见表 2 的优势优先级）。 (iii) 类型与尺寸：考虑实验室用的高精度型或便携的口袋型（表 3）。

2. 典型逸见计算尺图示

• 曼海姆型：No. 2664S (商用、通用工程)、No. 64 (里茨系统)、No. 50W (进阶型)、No. 45 (初学者用)。
• 双面型 (Duplex)：No. 250 (通用工程/商业)、No. 255 (专业电工)、No. 257 (化工工程)、No. 259 (机械工程)。
• 20 英寸型号：如 No. 70，用于实验室高精度计算。